Mukk József a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem Ének, ezt követően pedig Opera szakán végzett, majd a bécsi Zeneakadémia professzora irányításával képezte tovább magát.

1989-ben Grazban az I. Nemzetközi Schubert Versenyen, majd Rómában a Valentino Bucchi versenyen egyaránt 3. díjat kapott. 199o-ben díjat vehetett át a „Modern Művek Tolmácsolásáért”, valamint 1991-ben a Magyar Zenei Előadóművészek Társasága részesítette Nívódíjban a koncertéletben kifejtett színvonalas tevékenysége elismeréséül. 1992-ben Bartók-Pásztory díjat kapott.

Mukk József 1991 augusztusától a Magyar Állami Operaház magánénekese. Főbb szerepei:
- Mozart – Don Giovanni ( Don Ottavio) – Szöktetés a szerájból ( Belmonte ) - Titus kegyelme ( Titus ) - Varázsfuvola ( Tamino ) - Idomeneo ( Idomeneo)
- Donizetti – Szerelmi bájital ( Nemorino )
- Schubert-Berté – Három a kislány ( Schubert )
- Verdi – Falstaff ( Fenton )
- Bizet – Carmen ( Remendado )
- Erkel Ferenc – Hunyadi László ( V. László )
- Johann Strauss – Denevér ( Alfred )
- Rossini – Sevillai borbély (Almaviva gróf)
- Wagner – A nürnbergi mesterdalnokok (Dávid )

Mukk József rendszeresen vesz részt operafesztiválokon és koncertezik Európaszerte (Németország, Olaszország, Franciaország, Hollandia, Szlovákia, Szlovénia, Lengyelország, Spanyolország, Svájc, Ausztria, Luxemburg) Peskó Zoltán, Helmuth Rilling, Jurij Simonov, Yehudi Menuhin, Kobayashi Ken-Ichiro, Izaki Masahiro, Rico Saccani, Adam Medveczky, János Kovács, Herbert Böck, Will Humburg, László Heltay, Vásáry Tamás, Ádám Fischer, Győriványi-Ráth György és Kocsis Zoltán vezényletével. 

A Bregenzi Kamarazenei Fesztivál visszatérő előadóművésze Schubert és Schumann dalestjeivel. Több alkalommal vendégszerepelt Japánban a Magyar Állami Operaház turnéi során. Hazai operafesztiválok valamint összes belföldi szimfonikus zenekarunk rendszeres szólistája. A Magyar Rádió és Televízió valamint egyéb kereskedelmi televíziók számos felvételt készítettek közreműködésével. Operafilmek is készültek szereplésével ( Beethoven: Fidelio, Erkel: István király)

Magyar, német és olasz kiadók több CD-lemezt jelentettek meg Mukk József közreműködésével:
- J.S.Bach: Karácsonyi Oratórium, Máté-passió, János-passió, Magnificat, Kantáták, 
- Haydn: La Canterina 
- Mendelssohn: Zsoltárok
- Erkel Ferenc: István király
- Mendelssohn: Psalmus  
- Joseph Haydn: Missa in honorem Sti Nicolai, Ave Maria (szólólemez), Teremtés
- Michael Haydn: Teréz mise, Te Deum 
- Durkó Zsolt: The Relevations to John 
- Mozart: Missa Brevis, Requiem
- G.Druschetzky: Missa solemnis, Liszt: Férfikari kantáták
- Dohnányi: Cantus Vitae